國中數學教材第二冊第一章第一節
二元一次聯立方程式與代入消去法
一．引言
兩千年前，我國古代有一部數學名著叫＜九章算術＞，書中講了許許多多關於算術．代數．幾何等知識．全書由九個篇目組成，統稱九章．其中第八章的篇名就叫“方程”．不過，在這“方程”章裹講的不全包括現在我們所稱的方程的佑識，而是講多元一次方程組的問題．
以“方程”章第一題為例．這一題的原文是：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗．問上．中．下禾一秉各幾何？”
這裏“禾”是泛指莊稼，也可特指稻子；“秉”是指束或者捆，一秉即一束或一捆；“實”是泛指果實，也是特指稻穀．用現代的語，言這個問題可表達為：
己知上等稻子３捆，中等稻子２捆，下等稻子１捆，能打出稻穀３９斗．上等稻子２捆，中等稻子３捆，下等稻子１捆，能打出稻穀３４斗．上等稻子１捆，中等稻子２捆，上等稻子３捆，能打出稻穀２６斗．問各等稻子１捆能打出稻穀多少斗？
設上等稻子每捆可出稻穀x斗，中等稻子每捆可出稻穀y斗，下等稻子每捆可出稻穀z斗．於是可列出方程組：
3x+2y+z=39,
2x+3y+z=34,
x+2y+3z=26.
不過，我國古代沒有x.y.z這些符號，而且也不是用筆在紙上作式子推演數運算的．
十六世紀，隨著各種數學符號的相繼出現，特別是法國數學家韋達創立了較系統的表示未知量和己佑量的符號以後，“含有未知數的等式”這一專概念出現了，當時拉丁語稱它為“aequtio”,英文為”equation“．
十九世紀中葉，近代西方數學再次傳入我國．1859年，李善蘭英國傳教士偉烈亞力，將英國數學家德．摩爾根的＜代數初步＞譯出．李．偉兩人很注重數學名詞的正確翻譯，他們借用或創設了近四百個數學的滿譯名詞，許多至今一直沿用．其中，“equation”的譯名就是借用了我國古代”方程“一詞．這樣，”方程“一詞首次意為”含有未知數的等式“．
人們努力尋找一種普通而又系統的方法，來解決右算術中的各種數量問題，於是導致了初代數的誕生，初等代數的特點是用“符號”表示各種數，用“方程”表示問題中的數量關係，從而使解題方法更為簡捷．
二．動動腦
１（１）３*（２*５）＝ （１’）３*（２*ｘ）＝
（２）-（-２+３）＝ （２’）- ( -ｘ+３)＝
含文字符號的算式的運算，雖滿足數的運算規則，卻無法在每次運算步驟後都得到一已知數，有時運算次序也與習慣不同，這些使得學習上很難調適．
２一盒貼紙有ｘ張，菁菁原有６盒，那麼菁菁原有幾張貼紙？答：___________
，後來，她哥哥又給她５張貼紙，那麼菁菁最後有幾張貼紙？答：__________
３下列三個步驟是城城用來解方程２（３ｘ
+２）＝２x +４的方法：步驟１：
6X+4=2X+4步驟２：6X=2X
步驟３：6=2
請指出上面哪一個步驟是不正確的．答：____________
４數學老師發還平時考的試卷，並公布全班最高分是１００分
創創分數的１／３倍比班上最高分的一半少２０分
假設創創的分數是ｘ分，
請依題意列出一元一次方程式______________
請算出創創的分數__________
守守分數的１／４倍再加３分之後的５倍，就是全班的最高分
假設守守的分數是ｙ分，
請依題意列出一元一次方程式
______________請算出守守的分數
__________對大部分的學生而言，剛開始面臨文字應用題會覺得很難，因此如何讓自己
經歷解題的思考歷程，而不是單純的只聽老師的講解是很重要的．
三．學習活動：
＜列算式＞
例１．蜻蜓泡沫紅茶店每杯珍珠奶茶ｘ元，椰果奶茶ｙ元，如果大雄和同學
叫了２杯珍珠奶茶．３杯椰果奶茶，那麼大雄和同學共花了多少元？
解：每杯珍珠奶茶ｘ元，買了２杯，共２ｘ元；
每杯椰果奶茶ｙ元，買了３杯，共３ｙ元；
所以大雄和同學共花了２ｘ＋３ｙ元
例２．小念就讀的學校合作社販賣鮮奶及礦泉水．鮮奶一瓶可賺３元，礦泉
水一瓶可賺２元，如果有一天，合作社賣出鮮奶ｘ瓶，礦泉水ｙ瓶，
請回答下列問題：
這一天共賣出鮮奶和礦泉水多少瓶？
這天所賣出的鮮奶和礦泉水共可賺進多少錢？
解：
<1>賣出鮮奶ｘ瓶， 礦泉水ｙ瓶， 共賣出鮮奶和礦泉水ｘ＋ｙ瓶．<2>鮮奶一瓶賺３元，賣出ｘ瓶賺３ｘ元；
礦泉水一瓶賺２元，賣出ｙ瓶賺２ｙ元；
鮮奶和礦泉水共賺３ｘ＋２ｙ元．
從上面這個例子可以看出來，有時我們會在一個題目中設兩個未知數．
隨堂練習
鉛筆一枝
x元，原子筆一枝y元，如果創創買了３枝鉛筆．３枝原子筆，他一共花了 __________元；守守買了２枝鉛筆．１枝原子筆，他一共花了 _____元．例３．彬彬的撲滿中有５０元硬幣
x個，１０元硬幣y個，則彬彬的撲滿裡共有多少元？解：硬幣中內５０元硬幣x個，則有５０x元；
硬幣中冇１０元硬幣y個，則有１０y 元；
撲滿中共有５０x+10y元．
例４．海報紙一張９元，麥克筆一枝３０元，為了布置教室，一年五班買了x張海報紙．Y枝麥克筆，一年十班比一年五班多買了３張海報紙，少買２枝麥克筆，則一年十班花了多少錢來買海報紙和麥克筆？
解： 海報紙（張） 麥克筆（枝）
一年五班 x y
一年十班 x+3 y-2
所以一年十班共買了（x+3）張海報紙，（y-2）枝麥克筆；
海報紙每張 ９元，買ｘ+3張，花了 ９（ｘ+3）元；
麥克筆每枝３０元，買ｙ-2枝，花了３０（ｙ-2）元；
所以一年十班一共花了９（ｘ+3）+30(ｙ-2)．
隨堂練習
蘋果一個２０元，水梨一個４０元，如果創創買了ｘ個蘋果．ｙ個水梨，他共花了________元；守守比創創少買２個蘋果，多買２個水梨，那麼守守共花了____________元．
在例３中我們知道，彬彬的撲滿中有５０元硬幣ｘ個，１０元硬幣ｙ個，所以彬彬的撲滿裡有５０ｘ＋１０ｙ元．５０ｘ＋１０ｙ是一個算式，這個算式所代表的數是多少，需由ｘ與ｙ分別所代表的數是多少來決定，例如：
當ｘ＝１，ｙ＝１時，５０ｘ＋１０ｙ
＝５０*１＋１０*１
＝６０
ｘ＝２，ｙ＝１時，５０ｘ＋１０ｙ
＝５０*２＋１０*１
＝１１０
ｘ＝１，ｙ＝２時，５０ｘ＋１０ｙ
＝５０*１＋１０*２
＝７０
隨堂練習
請在下表空格中，填入各算式所代表的數：
ｘ |
２ |
－２ |
２ |
－２ |
ｙ |
１ |
１ |
－１ |
－１ |
４ｘ＋５ｙ |
||||
２ｘ－３ｙ |
＜列聯立方程式＞
平平和安安一起去文具店買筆，平平買了３枝鉛筆，３枝原子筆，一共
５４元，安安買了２枝鉛筆，１枝原子筆，一共２６元．假設鉛筆一枝
是ｘ元，原子筆一枝是ｙ元，可得下列二組方程式：
３ｘ＋３ｙ＝５４ 和 ２ｘ＋ｙ＝２６
像３ｘ＋３ｙ＝５４，２ｘ＋ｙ＝２６，這類的方程式，含有兩個未知數（二元），而且每個未知數的次數都是１（一次），我們稱它們為二元一次方程式．
當我們用兩個未知數列出兩個二元一次方程式來表示題目中的數量關係時，可以把它們寫成
３ｘ＋３ｙ＝５４．．．．．．（１）
２ｘ＋ ｙ＝２６．．．．．．（２）
通常我們稱這些並列在一起的式子為二元一次聯立方程式或二元一次方程組．
隨堂練習
彬彬告訴郵局的小姐，媽媽叫他拿１３０元來買５元和７元的郵票共２２張．為了替郵局的小姐算出應該給彬彬多少張５元和７元的郵票，我們先設可以買５元的郵票ｘ張，７元的郵票ｙ張：
因為一共是２２張，所以可列出如下的方程式：
____________________________________________ ；
因為一共要花１３０元來買，所以可列出如下的方程式：
_____________________________________________．
請將上面兩式並列寫成二元一次聯立方程式：
______________________________________________
＜代入消去法＞
園遊會時，一年三班賣肉粽和貢丸湯．肉粽每個可賺８元，貢丸湯每碗可賺５元，如果只知道他們賣出的貢丸湯碗數是肉粽個數的２倍，且共賺1800元，請問他們賣出多少個肉粽和多少碗貢丸湯？
用一元一次方程式來解：
設賣出肉粽ｘ個，
賣出的貢丸湯碗數是肉粽個數的２倍，
所以賣出２ｘ碗貢丸湯；
ｘ個肉粽，每碗賺８元，肉粽共賺８ｘ元
２ｘ碗貢丸湯，每碗賺５元，貢丸湯共賺５
*２ｘ＝１０ｘ元依題意，８ｘ＋１０ｘ＝１８００
１８ｘ＝１８００
ｘ＝１００
因此， ２ｘ＝２００
所以，他們一共賣出肉粽１００個，貢丸湯２００碗．
用二元一次方程組來解：
設賣出肉粽ｘ個，貢丸湯ｙ碗，那麼
ｙ ＝ ２ｘ
貢丸湯碗數 ＝ 肉粽個數的２倍
８ｘ ＋ ５ｙ ＝ １８００
ｘ個肉粽賺的錢 ＋ ｙ碗貢丸湯賺的錢 ＝ 共賺的錢
把上面兩個式子並列在一起寫成
ｙ＝２ｘ．．．．．．．．．．．（１）
８ｘ＋５ｙ＝１８００．．．．．（２）
接下來要怎麼辦呢？
在求二元一次聯立方程式中的ｘ與ｙ所代表的數時，只要想辦法把兩個未知數中的一個去掉，就變成一元一次方程式了，接著可以用解一元一次方程式的方法來求出ｘ與ｙ．
現在讓我們來看看怎麼用消去一個未知數的方法來求出上面例子中肉粽個數ｘ及貢丸湯碗數ｙ：
ｙ＝２ｘ．．．．．．．．．．．（１）
８ｘ＋５ｙ＝１８００．．．．．（２）
把（１）或（２）式中的一個方程式變成只有一個未知數：
觀察一下，
ｙ＝２ｘ．．．．．．．．．．（１）
８ｘ＋５ｙ＝１８００．．．．（２）
＜把（２）式中的ｙ用２ｘ取代＞
得到 ８ｘ＋５（２ｘ）＝１８００
＜沒有ｙ了，變成一元一次方程式，接著只要算出ｘ就好了．＞
１８ｘ＝１８００
ｘ＝１００．．．．．（３）
這時已經求出一個未知數ｘ，要求出ｙ，只要把ｘ的值代入（１）式中就可以了．
把（３）式中代入（１）式，得
ｙ＝２
*１００＝２００
驗算
把ｘ＝１００，ｙ＝２００代入原聯立方程式，
（１）式等號左邊＝ｙ＝２００--------------------------相
式等號右邊＝２ｘ＝２*１００＝２００-------等
所以，ｘ＝１００，ｙ＝２００使（１）式等號左右兩邊相等；
式等號左邊＝８ｘ＋５ｙ＝８*１００+５*２００＝1800＝（２）式等號右邊
所以，ｘ＝１００，ｙ＝２００使（２）式等號左右兩邊相等；
ｘ＝１００，ｙ＝２００同時使（１）式及（２）式等號兩邊相等，
這時我們稱它們是原聯立方程式的解，而求出聯立方程式的解的過程就叫做解聯立方程式．
讓我們再來看一個解聯立方程式的例子．
例５ 解 ２ｘ＋３ｙ＝－３．．．．．（１）
－ｘ＝２ｙ．．．．．．．．（２）
解： 整理（２）式，
得到ｘ＝－２ｙ．．．．．（３）
把（３）式代入（１）式，得
２（－２ｙ）＋３ｙ＝－３
－ｙ＝－３
ｙ＝３．．．．．．．（４）
把（４）式代入（３）式，得
ｘ＝（－２）
*３＝－６
驗算
把ｘ＝－６，ｙ＝３代入原聯立方程式，
(1)式等號左邊＝２
*（－６）＋３*３＝（－１２）＋９
＝－３
＝（１）式等號右邊
(2)式等號左邊＝６
(2)式等號右邊＝２
*３＝６ｘ＝－６，ｙ＝３同時使（１）式及（２）式等號兩邊相等，所以，它們是原聯立方程式的解．
隨堂練習
利用例５的方法解下列各聯立方程式：
ｙ＝３
ｘ＋ｙ＝９
－ｘ＝ｙ
ｘ＋３ｙ＝１０
上面所說的這種解聯立方程式的方法，我們稱為代入消去法。有時在聯立的兩個方程式中並沒有一個方程式是很明顯的寫成ｘ＝．．．．或ｙ＝．．．．，此時，我們可以先整理方程式，通常可以用等量公理把其中一個未知數ｘ（或ｙ）全部移到等號的一邊，讓我們來看看下面的例子：
例６解 ２ｘ＋２ｙ＝１１００．．．．．（１）
３ｘ＋ｙ＝１２１０．．．．．．（２）
解：觀察一下，可以
先整理（２）式，使等號左邊只含ｙ，
由（２）式， ３ｘ＋ｙ＝１２１０ 得到
ｙ＝－３ｘ＋１２１０．．．．（３）
把（３）式代入（１）式，得
２ｘ＋２（－３ｘ＋１２１０）＝１１００
２ｘ－６ｘ＋２４２０＝１１００
－４ｘ＋２４２０＝１１００
－４ｘ＝－１３２０
ｘ＝３３０．．．．．．．．．（４）
把（４）式代入（３）式，得
ｙ＝（－３）（３３０）＋１２１０
ｙ＝－９９０＋１２１０
ｙ＝２２０
驗算
把ｘ＝３３０，ｙ＝２２０代入原聯立方程式，得到
２ｘ＋２ｙ＝２*３３０＋２*２２０＝１１００
３ｘ＋ｙ＝３*３３０＋２２０＝１２１０
所以，ｘ＝３３０，ｙ＝２２０是原聯立方程式的解．
在解聯立方程式時，例子告訴我們，算出ｘ及ｙ的值以後，要把這兩個值代入方程式驗算，但我們小心計算不要錯誤，也可以把驗算省略．下面有些例子，我們就把
驗算省略了．
例７ 解 ｘ＋５ｙ＝－２．．．．．．（１）
２ｘ＋３ｙ＝３．．．．．．（２）
解 觀察一下，可以
先整理（１）式，使等號左邊只含ｘ；
ｘ＋５ｙ＝－２ 得到
ｘ＝－５ｙ－２．．．．．（３）
把（３）式代入（２）式２ｘ＋３ｙ＝３，得
２（－５ｙ－２）＋３ｙ＝３
－１０ｙ－４＋３ｙ＝３
－７ｙ＝７
ｙ＝１．．．．．．．（４）
把（４）式代入（３）式ｘ＝－５ｙ－２，得
ｘ＝（－５）（－１）－２
ｘ＝３
所以，ｘ＝３，ｙ＝－１是原聯立方程式的解．
隨堂練習
解下列各聯立方程式：
３ｘ－２ｙ＝９
ｘ＋２ｙ＝３
ｘ＋ｙ＝５
ｘ－ｙ＝６
四．重點整理：
重點：
有時候我們會在同一個題目中設兩個未知數，來表示題目中的數量關係．含有兩個未知數的算式中，兩個未知數分別所代表的數決定了這個算式所代表的數．例：當ｘ＝１，ｙ＝１時，５０ｘ＋１０ｙ＝６０當ｘ＝２，ｙ＝１時，５０ｘ＋１０ｙ＝１１０二元一次方程式是含有兩個未知數（二元），未知數的次數是１（一次）的等式．例：５０ｘ＋１０ｙ＝６０當用兩個未知數列出兩個二元一次方程式來表示題目中的數量關係時，可把這兩個方程式並列在一起，稱為二元一次聯立方程式或二元一次方程組
例：２ｘ＋２ｙ＝１１００
３ｘ＋ｙ＝１２１０
同時使得聯立方程式等號成立凡ｘ和ｙ所代表的數就是此聯立方程式的解．
例：ｘ＝６，ｙ＝－３是聯立方程式
２ｘ＋３ｙ＝３
－ｘ＝２ｙ 的解
解聯立方程式時最重要的就是要想辦法消去兩個未知數中的一個未知數．可用代入消去法來解二元一次聯立方程式．
例： 解二元一次聯立方程式
２ｘ＋３ｙ＝３．．．．．．．．．．．．．．（１）
－ｘ＝２ｙ．．．．．．．．．．．．．．．．（２）
時，可將（２）成化為 ｘ＝－２ｙ．．．．．（３）
再把（３）代入（１）式消去ｘ．
五．習題：
Ａ．基本題
請在下列空格中填入各式所代表的數：
ｘ |
０ |
３ |
－１ |
１／３ |
－０．１ |
ｙ |
０ |
２ |
－２ |
－１／２ |
－０．２ |
ｘ＋３ｙ |
９ |
－７／６ |
－０．７ |
||
-6x+2y-1 |
－１ |
１ |
下列四組數中哪些組中ｘ．ｙ所代表的數是二元一次聯立方程式
－３１ｘ＋４２ｙ＝－１１
７ｘ－４ｙ＝－３ 的解？
＜１＞ｘ＝１，ｙ＝１ ＜２＞ｘ＝１，ｙ＝－１
＜３＞ｘ＝－１，ｙ＝１ ＜４＞ｘ＝－１，ｙ＝－１
下列哪些聯立方程式的解是ｘ＝２，ｙ＝１？
＜１＞ ｙ＝２ｘ ＜２＞ ２ｘ－ｙ＝３
３ｘ＋ｙ＝５ －７ｘ－ｙ＝－１５
＜３＞ ３ｘ＋２ｙ＝８ ＜４＞ ｘ－ｙ＝１
２ｘ－５ｙ＝１０ ３ｘ＋ｙ＝７
利用代入消去法，解下列各二元一次聯立方程式：
＜１＞ｘ＝２ ＜２＞ ｙ＝－３ｘ
ｙ＝３ｘ＋４ ｘ＋２ｙ＝５
＜３＞ ｙ＝ｘ＋３ ＜４＞ ｘ－２ｙ＝８
３ｘ＋２ｙ＝１６ ２ｘ＋５ｙ＝７
草根泡沫紅茶店賣一杯珍珠奶茶可賺１０元，一杯椰果奶茶可賺１２元，如果教師節那天，老闆賣出ｘ杯的珍珠奶茶，ｙ杯的椰果奶茶，那麼：教師節當天老闆所賣的珍珠奶茶與椰果奶茶，共賺了多少元？
＜用ｘ．ｙ的式子表示＞______________________________________________________
如果教師節當天老闆賣珍珠奶茶與椰果奶茶，共賺１１６０元，請根據題目所給條件，列出一個二元一次方程式．______________________________________________________
根據（２）中所給的條件，如果老闆還記得教師節當天共賣出１１０杯的珍珠奶茶與椰果奶茶，那麼那天他賣出珍珠奶茶與椰果奶茶各幾杯？______________________________________________________
創創班上男生人數比女生人數的３倍少１０人；女生人數的２倍等於男生人數．如果男生有ｘ人；女生有ｙ人，請依題意列出一組二元一次聯立方程式：____________________________________________
解上列二元一次聯立方程式：
得ｘ＝
_________，ｙ＝__________ ；因此男生有
_________人，女生有_________人
Ｂ．進階題
在下列空格中，填入各式所代表的數：
ｘ |
－２ |
||
ｙ |
１ |
||
４ｘ＋５ｙ |
８ |
－１４ |
|
２ｘ－３ｙ |
４ |
４ |
王媽媽拿１８０元給小明，剛好可以買４瓶醬油和３斤雞蛋，但小明卻買３瓶醬油和４斤雞蛋，而剩下１０元．試問醬油一瓶多少元？雞蛋１斤多少元？
甲．乙二人各有若干元，若甲給乙８０元後，則甲的錢恰好為乙的３倍，若乙給甲４０元後，則甲的錢數恰好為乙的９倍，問甲．乙兩人原來各有多少元？
解下列各聯立方程式
２ｘ＋ｙ＝３ｘ－ｙ＝５
ｘ／３＋ｙ／４＝２
ｘ／２－ｙ／２＝２／３