國中數學

1-1簡易二次函數的圖形

1.前言﹕以前曾學過線型函數與二元一次方程式，其圖形坐標平面上是一直線，那麼二次函數的圖形又是如何？如何描繪它的圖形？它有什麼特性？這是本節所要討論的重點。

2.二次函數的意義:若一函數等是右邊為一個x的二次多項式，這樣的函數叫做二次函數﹔即可表示成y= ax²+bx+c(其中a , b , c為常數且a≠0)型式的函數。

例如:y= x^2,, y= πx^2,, y=100 – 4.9x^2,…..等都是二次函數。

3.二次函數的圖形--拋物線

重點整理:

描繪y= x^2,，y= 2x^2,，y=1/2 x^2,，…y= ax^2,，a>0的圖形，並發現這些圖形都是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的對稱圖形。當a的值越大，圖形的開口越小。a的值越小，圖形的開口越大。

描繪y=–x^2,，y= –2x^2,，y=–1/2 x^2,，…y=bx^2,，b<0的圖形，並發現這些圖形都是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向下的對稱圖形。當b的值越大，圖形的開口越小。a的絕對值越小，圖形的開口越大。

描繪y= x^2,+1，y= x^2,+2，……y= x^2,+k，k>0的圖形，並發現把y= x^2,的圖形向上移動k個單位長，就可以得到y= x^2,+k的圖形。

描繪y= x^2,-1，y= x^2,-2，……y= x^2,-k，k>0的圖形，並發現把y= x^2,的圖形向下移動k個單位長，就可以得到y= x^2,-k的圖形。

　

　

深入探討

1.二次函數通過(0，3) ，(1，4)，且對稱於y軸，求此二次函數。

2.設二次函數y= - x^2,+4的圖形與x軸相交於A，B兩點，則

(1)=？(2) 的中點坐標為何？

3.如圖，拋物線與直線L交於A(-2，3)，C兩點，且直線L交x軸於B(4，0)，則C點的坐標為何？

　 b4c1-1.jpg (6481 bytes)

　4.拋物線y=1/2 x^2,上有相異兩點A.B，設A點之橫坐標為 –2，B為第一象限內之點，若通過A，B之直線L與x軸交於C，且點A為BC之中點，求B點之坐標。

　 b4c1-2.jpg (5987 bytes)

　　5.如圖，拋物線y= x^2,，ABCD為期內接梯形， X軸，E(0，1)，梯形的高為3，求梯形ABCD面積

b4c1-5.jpg (7264 bytes)

2配方法與二次函數的圖形

前言﹕在第一節中，我們發現所有二次函數的圖形都是以y軸為對稱軸，崎頂點也都是在y軸上，那麼二次函數若不以y軸為對稱圖形，又是如何呢？

函數y=a(x-h)²之圖形，可由y= ax^2,之圖形向左或向右平移h單位而得。

y= ax^2,向右平移h單位長，就得到y=a(x-h)²，頂點在(h，0)。

y= ax^2,向左平移h單位長，就得到y=a(x+h)²，頂點在(-h，0)。

函數y=a(x-h)²+k之圖形可由y= ax^2,之圖形向左或向右平移h單位，再向上或向下平移k單位而得。

重點整理二次函數y= ax^2,+bx+c圖形與兩軸的關係

二次函數圖形與y軸必有一交點，其焦點坐標﹕

令x=0代入二次函數，得y之值為c，即可求出與y軸之焦點坐標為(0，c)。

二次函數的圖形與x軸之相交情形﹕

令y=0，解方程式 ax^2,+bx+c=0，再由判別式(b²-4ac)可得知。

有關圖形的其他討論如下表﹕

判別式(b²-4ac)	b²-4ac>0	b²-4ac=0	b²-4ac<0
此函數所決定之方程式根之性質		兩相等的根	無解
拋物線與x軸之交點	相異兩交點	一交點(相交)	無交點
a>0(開口向上)
a<0(開口向下)